Utilização dos Números Adimensionais
O uso de números adimensionais permite uma representação mais simples de fenômenos complexos e a generalização dos mesmos.
Teorema dos π
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.
Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, D) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:
1º PASSO:
Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n
n = 5
2º PASSO:
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.
[F] = F
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T
[D] = L
3º PASSO:
Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K.
K = 3
4º PASSO: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m
m = n - K ∴ m = 2
5º PASSO:
Estabelecemos a base dos números adimensionais.
Definição de base - É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.
Variáveis independentes - São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.
ρ e µ como variáveis dependentes.
Bases possíveis para o exemplo:
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D.
Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta.
Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
6º PASSO: Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.
Para π1 tem-se:
O uso de números adimensionais permite uma representação mais simples de fenômenos complexos e a generalização dos mesmos.
Teorema dos π
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.
Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, D) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:
1º PASSO:
Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n
n = 5
2º PASSO:
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.
[F] = F
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T
[D] = L
3º PASSO:
Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K.
K = 3
4º PASSO: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m
m = n - K ∴ m = 2
5º PASSO:
Estabelecemos a base dos números adimensionais.
Definição de base - É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.
Variáveis independentes - São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.
ρ e µ como variáveis dependentes.
Bases possíveis para o exemplo:
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D.
Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta.
Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
6º PASSO: Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.
Para π1 tem-se:
F0 L0 T0 = (Fx L-4x T2)α2 . L α3 . F
F0 L0 T0 = F α1+1 . L -4α1+ α2 +α3 . T 2α1- α2
α1+1 = 0 => α1 = -1
2α1- α2 =0 => -2 – α2 = 0 => α2 = -2
-4α1 + α2 + α3 = 0 => 4-2+ α3 =0 => α3 = -2
: . π1 = ρ-1 . V-2 . D-2 . F => π1 = F
ρV2D2
Para π2 tem-se:
F0 L0 T0 = (Fx L-4x T2)γ2 . (Lx T-1) γ2 . L γ3. FxL-2xT
F0 L0 T0 = F γ1+1 . L -4 γ1+ γ2+ γ3-2 . T 2 γ1- γ2+1
γ1 + 1 =0 => γ1 = -1
2γ1 – γ2 + 1 = 0 => -2 – γ2 + 1 = 0 => γ2 = -1
-4γ1 + γ2 + γ3 -2 = 0 => 4 – 1 + γ3 – 2 = 0 => γ3 = -1
:. π2 = ρ-1 . V-1 . D-1 . µ : . π1 = µ
ρVD
http://www.escoladavida.eng.br/
